できれば、マザーボードととハードディスクはSATAで直結したほうがいいです。
特に、動作がおかしいハードディスクの場合。

ファイナルデータの使い方にもいろいろありまして、moomooさんの場合、

「ファイルの復元」
→「フォーマットした場合」（「ドライブが正常に認識できない場合」ではない）
→該当のディスク（ドライブではない）を選択し、「ファイルの種類」を指定して「検索」

とすると、違った結果が得られるかもしれません。

あるいは、「PhotoRec」を使ってみるとか。

おっしゃるとおりで、このハードディスクに負荷をかけるような作業は極力避け、
やるなら一発でやりきってしまうぐらいの覚悟で望んだほうがいいと思います。

ちなみに、SMART情報のチェックをしていないようであれば、
事前に確認して状況を把握してから実作業に移ったほうがいいです。
予測と準備ができます。
SMART情報のチェックだけなら、ほとんど負荷はかかりません。

データを取り出したいと思って、古いWindows7にSATAでUSB接続してみたのですが、
ボリュームラベル（E）フォーマットしてくださいというエラーがでます。

testdiskで確認したところ、以下のように表示されます。
Boot sector
Status:Bad

Backup boot sector
Status:Bad

sectors are not identificial

また中のファイルを見ようとしても、となります。
can't open filesystem. Filesystem seems damaged.

ファイナルデータのお試し版を使ってみましたが、何も検索されませんでした。
いろいろ調べているとこのHDDに直接アクセスするのは良くないとのことで、UbuntuでCD-ROMから起動してみましたが、該当HDDが認識できないのか、画面に表示されません。

他に何かできることがあれば、教えていただけないでしょうか？