仰る通り、sector mismatchesの内容は逆になります。

環境を補足すると、PCはHPのメーカー製、M/BはFoxconnのOEM
システム起動のSAMSUNGの1TBと、データ保存にWDの3TBが接続しています。

当初のAMD AHCI Compatible RAID controllerを
AMD SATA AHCI driverないしはMS AHCIに変更すると
Seagate 4TBは接続をUSBと入れ替えても認識するようになりました。（CHS等前回と変わっているようです）
が、従来正常に認識していたWD 3TBがsector mismatchesを吐きだし同様の初期化を求められる
ようになりましたので、元に戻しました。
一瞬期待してしまいましたが、やはり解決は難しそうです。

色々とありがとうございました。

現物を見られないのが歯がゆいですが、以下私の考えを書きます。

同じ「sector mismatches」との表示があっても、それぞれの意味は違うはずです。
少なくとも、スクリーンショット2枚目で得られる情報からは、
セクタサイズ512Bでフォーマットされたディスクであることを示しています。
それが、OS側にセクタサイズ1024Bのディスクとして認識されてしまっているので、
正常に認識できないわけです。

この状態でディスクの初期化、フォーマットを行なうと、
セクタサイズ1024Bとしてファイルシステムが設定されます。
その状態のディスクを再び元の接続に戻すと、
またセクタサイズ512BとOSに認識され、一致しない、つまり「sector mismatches」とエラーが出ます。

ひとことで言うと、「sector mismatches」の内容が逆のはずです。

これはセクタにアクセスする以前の話、ハードディスクをOSがどう認識するかという問題なので、
ゼロフィルは意味がないです。
だから極端な話、同じWindowsでも違うパソコンに接続すると認識する可能性はあると思います。
もちろん、セクタサイズ512Bで。

M/B接続、USB接続いずれでフォーマットとTestdiskを行っても
sector mismatchesが出てしまいます。
お返事からその部分が問題のようなので、
HDD型番+sector mismatchesで検索すると、海外の掲示板でいくつか
ヒットしましたが解決策までは見つかりませんでした。

ドライバ、ファームウェアのアップグレード（もしくはダウングレード）を
してみましたが状況は変わらずです。
残念ながらLinux環境はありません。

ホームページの「ハードディスクの物理フォーマット」の項目で、
>ゼロフィルを行うと不安定だったセクタが回復することがあります
とのことで、時間のあるときに実行してみたいと思っています。
もし他に何か試せることはあれば、ご教授お願いいたします。

物理セクタサイズ4KiBのハードディスクが主流になった現在においても、
従来との互換性の関係から、論理セクタサイズは512Bであるのが普通です。
ところが、添付いただいたスクリーンショット2枚目にもあるように、
特定の環境で論理セクタサイズが1024Bと認識されてしまっています。
おそらく、USB外付けケースを使用した場合と推測します。

これは、Windowsのカーネルがハードディスクをどう認識するかという部分なので、
結論から言うと、どうしようもない気がします。
ハードディスクのファームウェア、USBブリッジ、マザーボード、そしてWindowsと、すべてが絡んでいて、
しかも、ユーザー側で設定できるものではないからです。
しいて言えば、ドライバ、ファームウェアのアップデートぐらい。

個人的に、Linuxディストリビューションならどう認識するかに興味はあります。
カーネルが変わるので、正常認識する可能性があるとは思っていますが、それでは根本的解決になりません。

フォーマットの前提が変わってしまうので、接続を変えるたびにファイルシステムを認識できなくなり、
それどころか先頭セクタの範囲も変わるので、ディスクの初期化から求められてしまうといったところでしょうか。
どちらにせよ、セクタサイズを1024Bと認識している環境での使用は避けたほうがいいと思います。
（＝スクリーンショットを撮った環境）
そっちがイレギュラーだからです。

回答になっていないかもしれませんが、私に言えるのはそれぐらいです。

［環境］
Win7home
Seagate製4TBHDD（ST4000DM000）
HDDケース：Marshall MAL-3035SBKU3、玄人志向KURO-DACHI/CLONE/U3（3TBないし4TB対応）

［状況］
今回倉庫用にSeagate製4TBHDDを購入し、内蔵SATA接続でGPTフォーマットを行いました。
（パーティションは1つ）
その後、USB3.0外付けHDDケースで接続すると再度「初期化されていません」となり
外付けで初期化後、内蔵HDDとして戻すと同様に初期化を求められます。
なお、2つの外付けHDDケース間の換装、WD製3TBや東芝製4TBのHDDでは同様の症状は出ません。

［試行］
1.
SeaTools、FromHDDtoSSDとチェックディスクを交互に行いましたがHDDに異常は見当たりません。
2.
HPの「TestDisk」の使い方、「TestDisk」によるPBRの修復を試みましたが、
内蔵と外付けを入れ替えると、また初期化を要求されます。
現在4度目の初期化前で止まっており、testdiskのキャプチャを添付します。
Analyseでは「Bad GPT partition,invalid signature.」
QuickとDeeper searchで「Warning: number of bytes per sector mismatches」
が表示されます。

購入してデータを殆ど書き込んでいないので、サルベージは必要なく、
HDDを安心して使うことが目的です。
よろしくお願いします。