もしCMOSバックアップ用の電池が原因であれば、それは電源投入時の問題となって現れるはずです。
動作中に突然電源が落ちるのは、ほとんどの場合、過熱（オーバーヒート）が原因です。
素子の損傷を防ぐために、保護回路がはたらいて電源が落ちます。
温度が高いうちは、スイッチを押しても電源が入りません。
あまりこれを繰り返すと、素子自体がダメージを受けて機能しなくなる恐れがあります。

本来であれば、CPUの冷却ファンとヒートシンクを取り外して清掃、
グリスも拭き取った後塗り直して装着するんですが、
放置状態から最初の電源投入もままならないとしたら、
CPU、もしくはマザーボードがもうダメかもしれません。

過熱が原因の事例としては、
以前、マザーボードのCPU周りの電解コンデンサが破裂していたパソコンを見たことがあります。
もちろん、パソコンとして機能しませんでした。