グラボ、メモリーを外し、動作確認済みの別の電源と当マザーボード、CPUのみで起動テストしてみましたが、やはり、ビープ音が鳴りません。ともかくも、マザーボードがほぼ完全に死んでいるようだと結論しました。

電解コンデンサのご説明も大変ありがたく読ませていただきました。その補足についても、再使用から、短期間のうちに、多くのコンデンサが膨張してしまったことに疑問を抱いていたので、とてもありがたい情報でした。

もし手頃なマザーボードがあれば、取り替えて使ってみようかとも思っていますが、古いパソコンなので、新しいものに丸ごと買い換えるか、組み立てる方向で考えたいと思います。

今回の件で、ruurooさんのアドバイスもあってパソコンについていくらか学ぶことができ、感謝しております。

膨張した電解コンデンサは、電解液が変質した結果であり、
ドライアップに至っていないとしても、性能低下は避けられません。
正直、小数のコンデンサの異常では、パソコンは動作することもありますけどね。
状況と、場所と、安全マージン次第です。
特に、メモリ周辺の電解コンデンサにことごとく異常が見られるのが気になります。
おっしゃる通り、これが原因の可能性はあると思います。

ちなみに、通電していなくても、電解コンデンサは劣化します。
というか、通電していないほうが劣化は早いです。
電解液の化学反応を利用しているアルミ電解コンデンサの宿命と思います。

もし私だったら、PCの買い替えを検討します。

概要: 突然、電源が入らなくなり、ケースを開けてみたところ、マザーボードの電解コンデンサのいくつかが膨張していました(以下の画像の青丸部分)。電源が入らない原因は、この異常によるものでしょうか。

症状: 電源投入後、0.5秒ほど、4つの全てのファン(電源、グラボ、CPU、ケース上部についているもの)が回転するものの、電源ランプは点灯せず、ビープー音もなし。

直前の使用状況: トラブル前日に、HDDの温度が50度を超え、PCが自動シャットダウン。その時の室温は25度程度だったと思われます。その後数時間して電源を入れたところ、通常通り動作しました。また、その他は、異常の兆候もなく、順調に使用していました。

試してみたこと: 電源ケーブルに異常なし。電源ユニットのスイッチはON。CMOSのクリア。CMOS電池の入れ替え(他のPCのもの)、マザーボードの放電、メモリーカードの挿し直し。

PC環境: およそ8年ほど前に友人の友人が組み立てたもので、内、4年間ほど未使用。一週間ほど前に、HDDを取り付け、再び使用するようになりました。
マザーボード: MSI G31M3-F V2
グラフィックボード: Radeon HD6670
CPU: 失念致しました
電源ユニット: 不明

現在、マザーボードを買い換えて延命に努めるか、PC等を新調するか迷っています。どのようなものでも構いませんので、ご意見があれば、よろしくお願い致します。