それで結果ですが、やはりHDD自体におかしい箇所がありました。
実はCrystalDiscInfoを試す前の段階でまず、エラー表示が出たんです。
HDDをつないだあと、「これらのファイルがこわれています」と、５つ挙げられていました。
（今まではそんな表示出なかったのですが）
CrystalDiscInfoでも同じところに問題がありました。

原因がわかったのですっきりしました。
本当にありがとうございました。

個人的には不良セクタが読み込めずに引っかかっているんじゃないかと考えており、
これはそれを判断するためのひとつの手段です。

他のパソコンを使って、その外付けハードディスクにファイルの読み書きテストをしたらどうなりますか？
読めるのなら、データを一旦退避させてしまうべきだと思います。
私用で会社のパソコンを使うのはやめるべきですけどね（両方私物なのかな？）。

おそらく、外付けハードディスク単体の問題である可能性が高いと思います。
「CrystalDiskInfo」とか使って、SMART情報を確認してみたほうがいいかもしれません。
当サイトでは、このへんとかこのへんにそれに関連することが書いてあります。
あくまで推測の域を出ませんが。