言われる通り、再度SATA接続を試してみました。
元PCでは試していなかったので、増設スペースがない為DVDを外して無理やりつないでみると普通に認識しました。とりあえずそこでクリーンフォーマットしました。
目的の別PCにつなぎ直すと1回目は認識せず（メディアなしの表示すらなし）、再起動かけると認識しました。
接触不良？？
USB-SATAケーブル接続も別のHDDの時は普通に認識したのに…。
ちょっと謎は残りましたがとりあえず目的は果たせたので良しとします。
どうもありがとうございました。

ちなみにデバイスマネージャーではディスクドライブで「ASMT 2115 USB Device」と出ています。

それは、USB-SATA変換ケーブルが表示されているだけだと思います。
不具合があるときは、基本的にUSB-SATA変換ケーブルを使わないでください。
原因がわかりにくくなるからです。

あくまでも、SATA接続でハードディスクがどのような挙動を示すかを確認してください。

回答ありがとうございます。
自分でも情報が少ないと思っていました、すみません。
PCはだいぶ古いですが、emachinesのEL1360です。
これから取り出した内蔵HDDがseagateのST3500413ASです。
今までの成功例は違う種類のPCの違うHDDでした。（これだけが悪いのか？）
元のPCにつないでも、全然別のPCにつないでもディスクの管理でメディアなしと表示されてフォーマットも何もできません。
ちなみにデバイスマネージャーではディスクドライブで「ASMT 2115 USB Device」と出ています。
（USB-SATAケーブル接続）

フォーマット前はWindowsが入っていましたが何も問題ありませんでした。
同じPCがもう一台余っているので同じことをしてみようかと考えていますが恐らく同じ結果になるのではないかと…躊躇しています。
何かヒントがあれば、よろしくお願いします。

たとえば、パソコン本体やハードディスクの型番とか、
デバイスマネージャーではどのように認識されているのか、
ディスクの管理でも、「メディアなし」以外に具体的にどのように表示されているのか、など。
SSDに換装する前は、ハードディスクの動作に問題がなかったのかも気になります。

本音を言えば、現物を見てみたいところです。
通常は、使い古しの内蔵ハードディスクでも、他のパソコンで問題なく使用できます。
ただデータの保存場所として使うだけなら。