コメントいただきありがとうございます。
仰る通り、HDDの容量を認識できていないことを踏まえ、
物理障害だと考えると他の状況との辻褄も合いますね…

物理障害とわかって「データを救出できればラッキー」ぐらいに考えを切り替えることが出来たので、
分解手順を調べた上で自分で分解してSATA接続を試みるか、業者に頼むか判断しようと思います。
また何かありましたらこの質問板を利用させていただきます。ありがとうございました。

外付けハードディスクのUSBコントローラは認識しているようですが、
ハードディスクの記憶領域を認識できていません。
記憶装置としては認識していますが、記憶領域を認識していません。

添付いただいた「ディスクの管理」の画像を見ると、
「ディスク1」と表示されている箇所において容量の表示がありません。
ハードディスクが正常なら、ディスクが初期化されていなくても、容量は表示されます。
これは、ハードディスクのSMART情報を取得できないこととも関連しています。

従って、USB-SATA変換基板か、内蔵ハードディスクのコントローラのどちらかに問題があると考えられます。
途中、再現性のない不具合があったことからも、物理障害の可能性は高いと思います。

今後の対応としては、書かれている通り、
外付けハードディスクを分解して、内蔵ハードディスクとSATA接続して動作確認するのが第一です。
あとのことは、その結果をふまえて考えます。
とはいえ、それでダメだと基板をいじらないといけなくなりますね。

個人的にはコントローラの問題、つまり基板の不具合の可能性が高いと考えているので、
常時接続で状況が悪化するとは考えにくいですが、
問題が発生したハードディスクを極力動作させないのは定石ではあります。

本来、ファイルシステムを無視してファイルを覗きに行けるはずのファイナルデータでまったくデータが見つからないというのは少しおかしい気がします。
自力でハードディスクの完全消去しない限りは…。
とりあえずはファイナルデータの設定の問題かと思いますが、いかがでしょうか。
スキャンするファイルの拡張子の種類、スキャン先のドライブの指定、その他このサイトを見ながらチェックしてみるのがよろしいかと。

○環境情報
OS：Windows 10
PC：Acer Aspire v5-171
外付HDD：Western Degital My Book 2TB

○過程
５年前に外付けHDDを購入し、音楽・動画・ゲーム・画像(写真)等の容量を取るメディアファイルの格納先として使用していました。
(PC側の内臓HDDにあまり容量がなかったため)

１週間ほど前の12/18(火)辺りから、外付けHDDの読み込み失敗が不定期に起こるようになりました。
※セマフォがタイムアウトしました～といった内容で、不定期に起こり再現性がなかったため原因が特定できませんでした

不審に思い再起動やディスククリーンアップ・デフラグ等のツールを使用して改善をしようとしたところ、外付けHDDがエクスプローラ上で表示されなくなり、読み込みが出来なくなりました。
※デフラグ等を行ってから１～２日ほどPCを使用しない日(電源はつけっぱなし)があるため、これが異常の決め手となった確証はありませんが、可能性は高いとみています

○確認した症状
・エクスプローラ上に外付けHDDが表示されず、ファイルを読み込めない
・デバイスマネージャーを見ると、ディスクに外付けHDDが表示されており、USBにも大容量記憶装置が表示されている
→物理的には認識されている？

・ディスクの管理を見ると、開口一番にフォーマットをするかを聞かれる。また、ディスクのパーティションを見ることができず、ディスクの状態は「不明 - 初期化されていません」と表示されている
→論理的な認識に障害あり？
※添付ファイル１に画面ショットあり

・CrystalDiskInfoでSMART値がどうなっているか確認しようとしたが、チェック対象として該当の外付けHDDが表示されず、チェックできなかった

・Testdiskを用いてパーティションの解析・修復をしようとしたが、対象のドライブに該当の外付けHDDが表示されず出来なかった

・ファイナルデータ特別復元版試供版を使用してファイルの復元を試みたが、物理ディスクを選択することは出来てもパーティションが表示できず復元作業に入れなかった
→ウィザードから行わず、「ファイルの復元→フォーマットをした場合→対象のディスクを選択→検索」を行ってもファイルが検出されず
※添付ファイル２に画面ショットあり

○目的
・外付けHDDに格納されているデータのうち、動画・写真だけでも取り出したい(他のデータは必要な範囲で復旧が可能なので)
・データが取り出せなかったとしても、フォーマットして継続してメディアファイルの格納先として使い続けたい
※今回のことがあったので、重要なファイルは別の媒体に２重バックアップするようにはしますが…

○相談内容
・ディスクの管理に書いてある内容から論理障害ではないかと判断し対応をしましたが、いずれも芳しい結果は得られませんでした。
もし上記の判断に誤りがありましたらご教授いただきたいです。
また、他に確認すべき内容はありますでしょうか。
(ページの記載を見る限り、HDDを分解してSATA接続を行うのが第一でしょうか？)

・「どこまでやって無理なら諦めるべきか」の判断をどこで行えばいいかがわかっていません。
上に書いたSATA接続を試みてもアクセス・復旧が出来ない場合は、素直に業者に頼むか、諦めるかすべきでしょうか。

・対応が終わるまで、外付けHDDはなるべく電源をつけるのを控えておき、調査・復旧を行うときのみPCに接続するようにした方がよいでしょうか。
今まではPCと常時接続しっぱなしですが、それで症状が悪化する可能性があるのであれば今の接続方法は変えたいと考えています。