外付けハードディスクの型番が書いてないので推測ですが、おそらくUSB接続のハードディスクだと思います。
その推測に基いて、以下書きます。

個人的に、USB接続の外部記憶装置全般をあまり信用していません。
トラブルが発生した場合は特に。

ハードディスク本来の接続規格はSATAやIDEなので、
USB接続のハードディスクには、インターフェイスをUSBに変換するための基板が入っています。
しかも、この部分が問題を起こすことが多いのです。
SATA接続では必要のない、余計な仕事が多いというか。
USBは何でもできる分、ユーザーにとっては便利でも、コンピュータにとっては複雑なんです。

「シンプル・イズ・ベスト」というのはまさにその通りで、
トラブルが発生した時には、極力単純な構成にして、原因の特定と復旧可能性を探ります。
複雑な構成のままでは、原因を絞ることすらできませんので。

私がお店にいた頃は、
まずハードウェアの保証が重要なのか、中のデータが重要なのか、
お客さんに方針を決めてもらいました。
そしてデータが重要なのであれば、外付けハードディスクは速攻分解してました。
それだけで普通に読めることも多いですし、
読めなかったとしても、ブリッジチップの影響を除外して原因を模索することができるからです。

https://pctrouble.net/caution_bbs.html
できないのであれば、対価を支払って業者に依頼すべきです。
人それぞれ得意分野は違っていて、その価値を交換するためにお金があると思うので。

ファイル復元ソフトを使うのも一手かもしれませんが、
順番としては、ハードウェアの影響を取り除くのが先です。

「Backup BS」が非表示の理由について、私には難易度が高くご説明いただいたことが理解できない有様ですが、今回の場合不要なものであるから自動的に非表示だということで納得いたしました。
上書きはしていませんので、ブートセクタ（PBR）という部分には問題はなさそうです。

恐縮ですが、HDDをマザーボードとSATA接続するための機器を所持していなく私の技術的にも厳しく、確認する事が出来ない状態です。
別の方法がありましたら引き続きお教えいただきたく存じます。

サイトの画像が古いバージョンのままなのは、私が面倒くさがりだからです。
別に古いバージョンである必要はありません。

画像を見る限り、上書き等していないのであれば、ブートセクタ（PBR）には問題がないように見えます。

外付けハードディスクから内蔵ハードディスクを取り出し、
SATAでマザーボードと直結しても同じですかね？

外付けHDDが認識されなくてTestDisk(ver.7.0)で修復しようとしています。

こちらのサイトでTestDiskの使用法を解説されていますが
使用されているバージョンが6.9で違うからなのか、「メインメニューのAdvanced」から「Boot」を選択した後に「Backup BS」という選択肢がありません。
代わりに「Repair MFT」という選択肢があります。

パーティションなどの事はほとんど分からないので機械的に進めていて、次はBackup BSを選択するところだったのでこの先どうすればいいかわかりません。
どのようにすればいいでしょうか？

もしくは同じver6.9をダウンロード使えば良さそうですが、私の力では見つけることが出来ませんでした。
もしあれば場所を教えていただきたいです。

なおHDDの症状は読み込もうとすると「フォーマットしてください」とメッセージが出る症状です。
このようになった心当たりとして、WinRarでrar圧縮している時にキャンセルしてすぐにスリープ状態にしたことが関係あるかもしれません。

TestDiskで「Analyse」→「QuickSearch」→「Write」の手順は試したところ直りませんでしたのでもう一つの方法である「Advance」→「Boot」→「Backup BS」を行う作業をしていたところです。