回答ありがとうございました。回答をいただいていたのに、コメントを返すのに、ずいぶん日が経ってしまい、申し訳ありませんでした。

さっそく回答頂いた通り、2の「HDAT2」使用せず、１の「Windows PE」をやりました。2日(23・24)かけてどうにか「Windows PE」を作成することができました。

次の日(25)、動作確認の為、起動してみました。起動すると「Launcher PE」という画面が出て、「Computer」のボタンを選択すると、2画面のExplorerが出てきました。
ちゃんとHDDが反応してくれたのか、ハードディスクドライブの所には、救出したいHDDの項目が表示されており(容量からそう思いました。)、取り出せるものと思い、次にファイルの逃がし先の外付けHDDをつなげたのですが、リムーバル記憶領域があるデバイスの所には、起動中のCDドライブの表示のみで、逃がし先の外付けがHDDが表示されてませんでした。
CD起動時から、接続していなかったからだと思ったので、一度終了しようとしました。すると白いもやがかかったようになって、何も選択できなくなりました。
CDからの起動なので、時間がかかるのだろうと、数十分待っても動かせず仕舞いで、フリーズしたのだと思いました。このままでは、HDDによくなさそうなので、本来であれば、2画面を閉じて、「shutdown WinPE」をクリックして終了すべき所、それができない為、強制終了しました。

あんな終わり方をして、大丈夫かなと思いましたが、すぐに使うのが怖かった為、数日あけて(28)、再度起動してみました。
もしかしたらの思いも外れ「Windows PE」が起動しませんでした。
もう、PC内でのデータ逃がしができないのだと思いました。

3日後(31)、仕事が早く終わった為、何気なし家電屋さんに行ったら、店員さんに声をかけられたので、事の顛末を話してみると、読み取らなくなった内臓HDDをケースに入れて外付けHDDにして、まともに動いてるPCに繋げて取り出し、そのデータを別の外付けにHDDに逃がすことが可能かもしれないと聞きました。同じような機能がある品を知人にもらった事を思い出したので、その方法でHDDが反応してくれるのか試すことにしました。
反応したあと、必要になってくるだろうということで、ファイナルデータの無料お試し版をいただきました。

6/1仕事から帰宅後、「LHR-DS03SAU2」に内臓HDDを挿入して、別PCでUSB接続してみました。するとExplorerのcomputerの所に「システムで予約済み」(G:)と(C:)と(D：)以外の「ローカルディスク」（I：）が増えました。
「システムで予約済み」は、何のことかわからなかったのですが、増えた「ローカルディスク」の方の容量は、救出したいデータ量と一致していたので、ハードディスクドライブのローカルディスクから中を見てみようとしたのですが、すぐにフリーズして読み込み出来ませんでした。

2日間考えた末、「LHR-DS03SAU2」と相性が悪かったのだと感じた為、6/4「SATA2-CASE2.5BK」を購入して再チャレンジしてみました。

接続してみると、LHRの時の同様に表示され、しばらくすると(I：)をフォーマットしますか？と表示されたので、「いいえ」をクリックするとファイルの一覧が見れました。でも、目的の動画や音楽、写真のファイルが見つからないので、一度終了することにしました。

6/5目的のファイルは、「Documents and Settings」フォルダの中にあるらしいことが分かったので、隠しファイル表示を表示できる状態にして、同じように接続しようとしたら、HDDとして反応はしているのに、容量の表示がされない状態になりました。(I：)のフォーマットをやたらと進めてくるし、パラメータが違いますと表示されたり何が何やら、わからなくなりました。無料お試し版のファイナルデータを使用する前に、こんな状態になってしまいました。まだ救出可能でしょうか？
まだ、方法が残されていましたら、お教え下さい。よろしくお願い致します。

お返事ありがとうございます。

さっそくお返事いただいた通り、「CrystalDiskInfo」で確認してみましたら、添付画像のようになりました。
温度は、大丈夫でしたが、健康状態が注意でした。
他は、「代替処理済セクタ数」「代替処理保留中のセクタ数」「回復不可能セクタ数」が黄色になってました。この状態だと、もうダメなのでしょうか？

「KNOPPIX」のDLを試してみましたが、リンク先がHPを閉鎖していた為、管理者さん推奨の「KNOPPIX 5.3.1CD（700MB）日本語版」をはじめ取得できませんでした。他のバージョンでも大丈夫なのでしょうか？

「Ubuntu」をDLするなら、推奨バージョンは、何になりますでしょうか？

原因がハードディスク自体にある場合は、どうにもならないのでしょうか？

そもそも添付画像がないので返答に困るわけですが、ハードディスク内に不良セクタが存在することはほぼ間違いないようです。
はっきり申し上げて、完全に元の状態に戻すのは不可能です。
現時点で読み込めるセクタからデータを拾い集めてファイルを復元するしかありません。
初回の回答でも書きましたが、個人レベルでできるのはファイル復元ソフトを使うことぐらいです。

ファイル復元ソフトもCDブートだと状況が変わるというのも、これまた書いた通りです。
ファイル復元ソフトの操作もままならずフリーズするというのなら、
milkさんの当初の書き込み通り、「HDAT2」を使ってペンディングセクタの判定を促進させます。
これにより、フリーズを回避できる可能性があります。
最終手段ですが、もうどうにもならない状況になってきてるっぽいので。

もしデータの重要度が高い場合は、データ復旧業者さんに依頼してください。