UGREEN SATA USB3.0 変換アダプタ でHDDを接続したところ
ドライバソフトウェアのインストールが始まったのですが、正しくインストールされませんでした。
デバイスマネージャーから！マークのついた該当の「USB大容量記憶装置」の削除を行い、再接続しましたが
状況変わらず、正しくインストールされませんでした。
自分では手詰まり気味ですが何かありましたら宜しくお願いいたします。

この時点で、外付けHDD自体に問題があるような気がします。

そもそも、なぜチェックディスクを実行したのでしょうか。
実行中にスリープということで、かなり長時間かかっていたとも推察されます。
この不具合が発生する前に、すでに外付けHDDの動作がおかしかったとか。

関係ないと思います。
Windowsはその都度ドライブレターを割り当て直しますので。
しかも、ディスクの管理ではHDDを確認できるはずです。

私はその変換アダプタを持ってないので、詳細はわかりませんが、
通常この類の製品はドライバは不要なはずです。
（Windows標準のドライバで対応できるから。）
また、このような作業を行うなら、変に凝ってない、シンプルな製品のほうがいいです。
私が使っている、当サイトでも紹介している製品は、USB2.0対応止まりですが、
信号と電源でケーブルが独立していて、構造がシンプルだから使っているのです。

ドライバのインストールが正しく行われないなら、
変換アダプタと内蔵HDDのセットで動作確認を行う必要があります。
つまり、変換アダプタに正常な内蔵HDDを接続した状態なら、ドライバのインストールが完了する可能性があると思うわけです。
あるいは、別のUSBポート、別のパソコンを使って動作確認してみます。

なんとなくですが、書かれている内容からは内蔵HDD自体に問題があるような気がします。
USBを介さず、SATA接続で動作確認するに越したことはないです。