初めまして、ここのユーザーです。
トピ主様は書かれた文面から察するに、パソコンの構造についてあまり知識のない方ではないかと思われます。
恐らくHDDのファイルシステムに不具合が起きていると思うので、もっとも確実で手軽な方法は業者に任せることだと思います。
(SATAでつないだらとかいうレベルの話ではないだろうと思われます)

ただ財布に余裕がなくて、ひとつひとつ勉強していく覚悟があるなら自力でデータ救出も選択肢のひとつです。でも下手したら取り返しがつかなくなるので、重要なデータが入っていない場合に限ります。

本体を分解してUD-505SAでPCに接続してみましたが、デバイスマネージャーでの
認識がバッファローから中身のSeagateのHDDに変わっただけで、変化はありません。
ディスクの管理でも同様に中身を認識しませんでした。
USB-SATAブリッジを他のHDDに接続して（他のHDDをHD-LC2.0U3/Nの中のHDDと丸ごと
入れ替える形で）みたところ、全く問題なく認識しました。
どうやらUSB-SATAブリッジの問題ではなく、論理障害か物理障害かは分かりませんが
HDD本体に問題があるようです。
データ復旧の専門業者でかかる費用を調べてみましたが、これだけの費用に
値するかは微妙なデータなので、自力で復旧出来るものならしたいとこです。
データ復旧ソフトの体験版などで、中身を全く認識できないなら、諦めた方が
いいでしょうか？

ここで重要なのは、認識したかどうかではなく、「ディスクの管理」でどのように表示されたかです。
物理障害は論理障害を伴うのが普通なので、認識しないこと自体は大きな問題ではありません。

前述のページのように、「未割り当て」や「RAW」領域が存在するのであれば、論理障害の可能性があり、
ハードディスクの容量も表示されない状態なら、物理障害の可能性が高いです。
本来は、SATA接続で動作確認したいところですが。

動作確認の方法としては、すばらしいです。
少なくとも、内蔵ハードディスク固有の問題だと言えますよね。

デバイスマネージャーでSeagateと表示されているということは、
ハードディスクのコントローラは応答しているような気もするんですけどね。
もしハードディスクの容量も表示されないようなら、
データ復旧ソフトを用いてもデータ領域にアクセスできないと思います。

>Echoさん
最初に「管理人さま」とあるとおり、私宛の質問のようですので、
本件に関して横からレスしなくていいと思います。

ちなみに、私は2019-2049さんが知識のない人だとは思いませんし、考えていないとも思っていません。
むしろ、Echoさんの書き込みに問題を感じるので、対処しようかと思っていたところです。
相手のためにならない回答なら、しないほうがいいです。

前にも書いたはずですが、ここはEchoさんの掲示板ではありません。
この状態が続くようなら、書き込み禁止、立入禁止も検討しています。
現在、2アウトです。

Echoさんはこの掲示板に張り付くのではなく、実際のお客さんを相手にしてください。
店側の立場になれば、自称パソコンに詳しい人が厄介なことがわかると思います。
あるいは、自分の掲示板を立ち上げてください。

お久しぶりです。
自宅のPCが弄れない状況が続いていましたが、久々に検証してみました。

UD-505SAで繋いでみたところ、デバイスマネージャーでは認識する
ものの、ディスクの管理では認識しませんでした（file1）。
ところが、UD-505SAの電源を切ったところ、容量もHDDの名前も
表示されませんが、初期化されていないディスクとして認識（？）
されました（file2）。

デスクトップPCにSATA接続して電源を入れてみたところ、PCを立ち
上げる事が出来ませんでした（file3）。

データ復旧ソフトの体験版を試すなど色々やってみましたが、
中身を認識するところまで行けません。
データ自体は業者に数万円以上のお金を払ってまで取り戻したいもの
では無いので、今後は教訓としてこまめに複数のディスクにデータを
保存する事を習慣付けようと思います。

色々アドバイスをありがとうございました。